Formelsammlung

Wer gerne mit Kohte und Jurte konstruiert und sich dazu gerne Pläne macht, der kommt um ein gewisses Maß an Mathematik nicht herum. Idealisiert sind Kohte und Jurte regelmäßige Vielecke. Das modulare System lässt zu, unterschiedliche Planen fast beliebig zu kombinieren. Daraus ergeben sich vielfältige geometrische Formen. Zu deren Berechnung folgt unten die nötige Formelsammlung. Für die Bedeutung der Abkürzungen und Werte siehe: Wichtige Maße.

$a$ entspricht der Länge einer Viereckzeltbahn und somit der Seitenlänge von Achteck (Kohte), Zwölfeck (Jurte), Sechzehneck (Großjurte), usw.

Den theoretischen Wert von $a$ nehmen wir wie folgt an:

• Tortuga / Stromeyer $a=157cm$
• Schlaufenjurte $a=157cm$
• Rainbow $a=?cm$

Sechseck

Die Rainbow-Kohte entspricht einem regelmässigen Sechseck

Umkreisradius

$R=a$

Inkreisradius

$r=a\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}$

Flächeninhalt

$A=a^{2}\,{\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}$

Diagonale über 2 (bzw. 4) Seiten

$d_{2}=2r=a\,{\sqrt {3}}$

Diagonale über 3 Seiten (Durchmesser)

$D=2R=2a$

Innenwinkel

$\delta =180^{\circ }-\alpha =120^{\circ }$

Achteck

Die Kohte entspricht einem gleichseitigem Achteck.

Inkreisradius

$r=a\ {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {2}})$

$a=2r\ ({\sqrt {2}}-1)$

Umkreisradius

$R=a\ {\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$

$R=a\ {\sqrt {1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$

$a=R\ {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$

Große Diagonale (Durchmesser)

$d_{1}=a\ {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\ =\ 2R$

Mittlere Diagonale

$d_{2}=a\ (1+{\sqrt {2}})\ =\ 2r$

Kleine Diagonale

$d_{3}=a\ {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\ =\ R\,{\sqrt {2}}$

Zentriwinkel

$\alpha ={\frac {360^{\circ }}{8}}=45^{\circ }$

Innenwinkel

$\delta =180^{\circ }-\alpha =135^{\circ }$

$\cos \delta ={\frac {-1}{\sqrt {2}}}$

Flächeninhalt

$A=a^{2}\ (2+2{\sqrt {2}})$

$A=r_{u}^{2}\ 2{\sqrt {2}}$

Zwölfeck

Die Jurte entspricht einem regelmässigen Zwölfeck

Zentriwinkel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ }

Innenwinkel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta = 180^\circ - \alpha = 150^\circ }

Flächeninhalt

${\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 11{,}19615\,a^{2}.\end{aligned}}$

Die Fläche kann auch mit $R$ als dem Radius des Umkreises berechnet werden

$A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}.$

Mit r als Radius des Inkreises, ergibt sich der Flächeninhalt des regelmäßigen Zwölfecks zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} A & = 12 \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) r^2 = 12 \left(2-\sqrt{3} \right) r^2 \\ & \approx 3{,}21539\,r^2. \end{align}}

Sechzehneck

Zentriwinkel

$\alpha ={\frac {360^{\circ }}{16}}=22,5^{\circ }$

Innenwinkel

Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 157,5°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2520°.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta = 180^\circ - \alpha = 157,5^\circ }

Flächeninhalt

$A=4a^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}=4a^{2}({\sqrt {2}}+1)\left({\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}+1\right)$

Da die Anzahl der Seiten eines Sechzehnecks eine Zweierpotenz ist, kann die Fläche auch über den Umkreis mit dem Radius $r$ durch eine abgeleitete Formel aus Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi berechnet werden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=r^2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=4r^2\sqrt{2-\sqrt{2}}.}

Dreieck

Bei den Formeln für das Dreieck entspricht $a$ nicht der Kantenlänge eine Plane (außer es geht um die Dreieckzeltbahn)!

gleichschenkliges Dreieck

Mit diesen Formeln kann z.B. die Bundhöhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_b } für die Mittelstangen einer Jurte bestimmt werden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_b = s+d+x+a } mit $s$ = Seitenhöhe der Jurte, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d } = Dacherhöhung, $x$ = Abstand Dach zu Abdeckplane und $a$ = Höhe Abdeckplane

Wenn wir jetzt noch einen Abstand der beiden Mittelstangen für die Feuerstelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f } festlegen, dann können wir mit der Formel

$l_{b}={\sqrt {h_{b}^{2}+{\frac {f^{2}}{4}}}}$ ergibt die Länge der Mittelstangen, bzw. wo dort der Bund liegen soll.

Seitenlänge

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = b }

$c^{2}=2a^{2}(1-\cos(\gamma ))$

$c=2a\cdot \sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)$

Höhe

$h_{c}={\sqrt {a^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}$

Umfang

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U \, = \, 2a + c }

Winkel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = \beta, \,\gamma = 180^\circ -2 \alpha }
$\gamma =\arccos \left(1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}\right)$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma = 2\arcsin\left(\frac{c}{2a}\right) }

Flächeninhalt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \, = \, \frac{c}{2}\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \, = \, \frac{1}{2}\,c\cdot h_c}

regelmäßige dreiseitige Pyramide

Ein Anwendungsfall für eine regelmäßige dreiseitige Pyramide ist das Dreibein in oder außerhalb einer Jurte.

Anmerkungen

Innenwinkel

Der Innenwinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta } entspricht zum Beispiel dem Maß der Winkel für das Jurtengerüst.

Fläche

Die Flächenberechnung ist z.B. dort hilfreich, wo Jurten kombiniert werden, aber dennoch die Grenze zu Fliegenden Bauten nicht überschritten werden soll.